Volumen Pyramide berechnen: Pyramide Volumen, Oberfläche und Mantelfläche

Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit V = G × h ÷ 3: Grundfläche mal Höhe, geteilt durch drei. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, 6 cm Kantenlänge und 4 cm Höhe hat 36 × 4 ÷ 3 = 48 cm³. Der Pyramiden-Rechner oben rechnet mit quadratischer, rechteckiger oder dreieckiger Grundfläche und zeigt das Pyramide Volumen in cm³ und Liter, dazu Höhe der Seitenflächen, Mantelfläche, Oberfläche und Seitenkante. Weiter unten stehen Rechner für die Höhe aus dem Volumen und für den Pyramidenstumpf, die Volumen Pyramide Formel mit Herleitung, die Rechnung mit Vektoren und Aufgaben: alles, um eine Pyramide berechnen zu können.

Auf dieser Seite

• Volumen Pyramide Formel
• Pyramide Volumen berechnen: Beispiel Schritt für Schritt
• Quadratische Pyramide: Volumen Pyramide mit quadratischer Grundfläche
• Pyramide mit rechteckiger Grundfläche
• Volumen Pyramide dreiseitig (dreieckige Grundfläche)
• Oberflächeninhalt Pyramide und Mantelfläche Pyramide berechnen
• Pyramide Höhe berechnen
• Pyramidenstumpf Volumen berechnen
• Herleitung: Warum durch 3?
• Volumen Pyramide mit Vektoren
• Cheops-Pyramide: Volumen der Cheops Pyramide von Gizeh
• Pyramide Ecken Kanten Flächen: Wie viele hat eine Pyramide?
• Typische Fehler
• Aufgaben zum Üben
• Häufige Fragen

Volumen Pyramide Formel

V = 1/3 × G × h

Die Volumen Pyramide Formel gilt für jede Pyramide, egal welche Form die Grundfläche hat: Grundfläche G mal Höhe h, ein Drittel davon. Die Höhe ist dabei immer der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche, nicht die schräge Kante. Die Pyramide Volumen Formel unterscheidet sich je nach Grundfläche also nur darin, wie man G ausrechnet. Die Pyramide Formeln im Überblick:

Grösse	Pyramide Formel (quadratisch, Kante a)	allgemein
Volumen V	a² × h ÷ 3	G × h ÷ 3
Höhe der Seitenfläche hs	√(h² + (a/2)²)	je Seite eigene Höhe
Mantelfläche M	2 × a × hs	Summe der Seitendreiecke
Oberfläche O	a² + 2 × a × hs	G + M
Seitenkante s	√(h² + a²/2)	√(h² + Abstand Ecke–Mitte²)
Höhe h	3 × V ÷ a²	3 × V ÷ G

Pyramide Volumen berechnen: Beispiel Schritt für Schritt

Aufgabe: Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit 6 cm Kantenlänge und ist 4 cm hoch. Berechne Volumen und Oberfläche.

Grundfläche

G = a² = 6² = 36 cm²

Volumen

V = G × h ÷ 3 = 36 × 4 ÷ 3 = 48 cm³

Höhe der Seitenfläche

h_s = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm

Mantelfläche

M = 2 × 6 × 5 = 60 cm²

Oberfläche

O = 36 + 60 = 96 cm²

Das ist die Volumenberechnung bei der Pyramide, und dieselben Zeilen zeigt der Rechner oben im Rechenweg. Die Zahlen sind mit Absicht so gewählt, dass h_s glatt aufgeht: 3, 4 und 5 bilden ein pythagoreisches Tripel. Bei krummen Werten hilft der Pythagoras-Rechner.

Quadratische Pyramide: Volumen Pyramide mit quadratischer Grundfläche

Das ist der Normalfall in der Schule. Das Volumen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist V = a² × h ÷ 3. Eine Pyramide mit 10 cm Kante und 12 cm Höhe hat 100 × 12 ÷ 3 = 400 cm³ = 400 ml. Interessant ist der Vergleich mit dem Würfel oder Quader gleicher Grundfläche und Höhe: Die Pyramide hat genau ein Drittel von dessen Volumen. Der Quader mit 10 × 10 × 12 cm hätte 1.200 cm³, siehe Volumen berechnen.

Pyramide mit rechteckiger Grundfläche

Ist die Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten a und b, wird G = a × b. Eine Pyramide mit 8 cm × 6 cm Grundfläche und 12 cm Höhe hat V = 48 × 12 ÷ 3 = 192 cm³. Bei der Oberfläche gibt es jetzt zwei verschiedene Seitendreiecke: Die über der Seite a haben die Höhe √(h² + (b/2)²) = 12,37 cm, die über b die Höhe √(h² + (a/2)²) = 12,65 cm. Die Mantelfläche ist 8 × 12,37 + 6 × 12,65 = 174,85 cm². Im Rechner oben stellst du dafür „rechteckig“ ein und trägst beide Seiten ein.

Volumen Pyramide dreiseitig (dreieckige Grundfläche)

Bei einer dreiseitigen Pyramide ist die Grundfläche ein Dreieck: G = Grundseite × Dreieckshöhe ÷ 2. Das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, Grundseite 6 cm, Dreieckshöhe 4 cm und Pyramidenhöhe 10 cm, ist 12 × 10 ÷ 3 = 40 cm³. Im Rechner stellst du „dreieckig“ ein; a ist die Grundseite, b die Höhe des Grunddreiecks. Sind alle sechs Kanten gleich lang, heisst der Körper regelmässiges Tetraeder; für die Kante a gilt dann V = a³ ÷ (6 × √2), bei a = 6 cm also 25,46 cm³. Die Oberfläche einer dreiseitigen Pyramide braucht alle drei Seitendreiecke einzeln; beim regelmässigen Tetraeder sind es vier gleichseitige Dreiecke, O = √3 × a².

Oberflächeninhalt Pyramide und Mantelfläche Pyramide berechnen

O = G + M    M = 2 × a × h_s (quadratisch)

Die Oberfläche einer Pyramide (kurz: Oberfläche Pyramide) besteht aus der Grundfläche und den Seitendreiecken, zusammen Mantelfläche genannt. Für die Mantelfläche der quadratischen Pyramide braucht man die Höhe der Seitenfläche h_s, nicht die Pyramidenhöhe h. Man bekommt sie mit Pythagoras aus h und der halben Grundkante: h_s = √(h² + (a/2)²). Jedes der vier Seitendreiecke hat dann a × h_s ÷ 2, alle vier zusammen 2 × a × h_s. Im Beispiel mit a = 6 cm, h = 4 cm ist der Oberflächeninhalt der Pyramide 96 cm². Ein Zeltdach oder ein Kirchturmhelm ohne Boden hat nur die Mantelfläche; dort lässt man G weg.

Pyramide Höhe berechnen

Die Höhe einer Pyramide berechnest du je nachdem, was gegeben ist. Aus dem Volumen: h = 3 × V ÷ G. Aus der Höhe der Seitenfläche: h = √(h_s² − (a/2)²). Aus der Seitenkante: h = √(s² − a²/2).

Eine quadratische Pyramide mit 48 cm³ Volumen und 6 cm Grundkante ist 3 × 48 ÷ 36 = 4 cm hoch. Ist statt des Volumens die Seitenkante s = 10 cm gegeben, bei a = 6 cm, dann ist h = √(100 − 18) = 9,06 cm.

Pyramidenstumpf Volumen berechnen

V = h ÷ 3 × (G₁ + G₂ + √(G₁ × G₂))

Schneidet man die Spitze einer Pyramide parallel zur Grundfläche ab, bleibt ein Pyramidenstumpf. Er hat zwei Grundflächen, unten G₁ und oben G₂. Die Formel für das Volumen Pyramidenstumpf nimmt beide und ihr geometrisches Mittel:

Ein quadratischer Pyramidenstumpf mit 6 cm Kante unten, 3 cm oben und 4 cm Höhe hat 4 ÷ 3 × (36 + 9 + 18) = 84 cm³. Die Seitenflächen sind vier Trapeze mit der Höhe 4,27 cm, die Mantelfläche damit 76,9 cm². So berechnet man Blumenkübel, Eimer mit eckigem Querschnitt oder Fundamente.

Herleitung: Warum durch 3?

Die Volumen Pyramide Herleitung lässt sich anfassen: Ein Würfel lässt sich in drei gleich grosse Pyramiden zerlegen, die alle eine Würfelfläche als Grundfläche und eine Würfelecke als Spitze haben. Jede dieser Pyramiden hat also genau ein Drittel des Würfelvolumens, a³ ÷ 3 = G × h ÷ 3. Dass die Formel für jede Pyramide gilt, zeigt das Prinzip von Cavalieri: Zwei Pyramiden mit gleich grosser Grundfläche und gleicher Höhe haben in jeder Höhe gleich grosse Schnittflächen und deshalb dasselbe Volumen, egal ob die Spitze mittig oder schief sitzt. Dasselbe Drittel steckt übrigens im Kegel: V = π × r² × h ÷ 3.

Volumen Pyramide mit Vektoren

In der Oberstufe sind die Ecken als Punkte im Raum gegeben. Dann rechnet man das Volumen einer Pyramide mit Vektoren über das Spatprodukt. Für eine Pyramide mit Parallelogramm-Grundfläche ABCD und Spitze S gilt V = 1/3 × |(AB × AD) · AS|, für eine dreiseitige Pyramide ABCS gilt V = 1/6 × |(AB × AC) · AS|.

Punkte

A(0|0|0), B(6|0|0), D(0|6|0), S(3|3|4)

Vektoren

AB = (6, 0, 0), AD = (0, 6, 0), AS = (3, 3, 4)

Kreuzprodukt

AB × AD = (0, 0, 36)

Skalarprodukt

(0, 0, 36) · (3, 3, 4) = 144

Volumen

V = 144 ÷ 3 = 48

Das ist dieselbe Pyramide wie im Beispiel oben, und die Vektorrechnung liefert dasselbe Ergebnis: 48 Volumeneinheiten.

Cheops-Pyramide: Volumen der Cheops Pyramide von Gizeh

Die Cheops-Pyramide, die grosse Pyramide von Gizeh, hatte ursprünglich eine quadratische Grundfläche mit rund 230,33 m Kantenlänge und eine Höhe von etwa 146,59 m. Ihr Volumen: 230,33² × 146,59 ÷ 3 = rund 2,59 Millionen m³. Heute ist sie durch den Verlust der Spitze und der Verkleidung einige Meter niedriger. Mit dem Rechner oben (Einheit m) kannst du die Rechnung nachvollziehen.

Pyramide Ecken Kanten Flächen: Wie viele hat eine Pyramide?

Pyramide	Flächen	Kanten	Ecken
dreiseitig (Tetraeder)	4	6	4
quadratisch / rechteckig	5	8	5
fünfseitig	6	10	6
n-seitig	n + 1	2 × n	n + 1

Eine quadratische Pyramide hat also 5 Flächen (1 Quadrat, 4 Dreiecke), 8 Kanten und 5 Ecken. Der eulersche Polyedersatz bestätigt es: Ecken − Kanten + Flächen = 5 − 8 + 5 = 2.

Typische Fehler

• Das Drittel vergessen. G × h allein ist das Volumen des Prismas, nicht der Pyramide.
• Seitenkante oder h_s als Höhe einsetzen. Ins Volumen gehört die senkrechte Höhe h.
• h statt h_s für die Mantelfläche. Die Seitendreiecke sind schräg; ihre Höhe ist h_s.
• Dreieck-Grundfläche nicht halbieren. G = g × h_g ÷ 2.
• Beim Stumpf die Flächen mitteln. (G₁ + G₂) ÷ 2 × h ist zu gross; richtig ist h ÷ 3 × (G₁ + G₂ + √(G₁ × G₂)).
• Einheiten mischen. Alle Masse vorher in dieselbe Einheit bringen.

Aufgaben zum Üben

Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung auf. Alle Aufgaben lassen sich mit den Rechnern auf dieser Seite kontrollieren.

Aufgabe 1: Quadratische Pyramide, a = 5 cm, h = 9 cm. Volumen?

V = 25 × 9 ÷ 3 = 75 cm³.

Aufgabe 2: Rechteckige Grundfläche 4 m × 3 m, Höhe 5 m. Volumen?

V = 12 × 5 ÷ 3 = 20 m³.

Aufgabe 3: Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit a = 10 cm und h = 12 cm?

h_s = √(144 + 25) = 13; O = 100 + 2 × 10 × 13 = 360 cm².

Aufgabe 4: Eine Pyramide hat 96 cm³ Volumen und eine Grundfläche von 36 cm². Wie hoch ist sie?

h = 3 × 96 ÷ 36 = 8 cm.

Aufgabe 5: Dreiseitige Pyramide, Grunddreieck mit g = 8 cm und h_g = 5 cm, Pyramidenhöhe 9 cm. Volumen?

G = 20 cm²; V = 20 × 9 ÷ 3 = 60 cm³.

Aufgabe 6: Pyramidenstumpf mit 10 cm unten, 4 cm oben, 6 cm hoch. Volumen?

V = 6 ÷ 3 × (100 + 16 + 40) = 312 cm³.

Häufige Fragen

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide?

V = G × h ÷ 3: Grundfläche mal Höhe, durch drei. Bei quadratischer Grundfläche V = a² × h ÷ 3; für a = 6 cm und h = 4 cm sind es 48 cm³.

Wie lautet die Formel für das Volumen einer Pyramide?

V = 1/3 × G × h. G ist die Grundfläche, h der senkrechte Abstand der Spitze von ihr.

Warum teilt man das Volumen der Pyramide durch 3?

Weil ein Würfel genau in drei gleich grosse Pyramiden zerfällt. Jede Pyramide hat also ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Wie berechnet man die Oberfläche einer Pyramide?

O = G + M. Bei der quadratischen Pyramide ist M = 2 × a × h_s mit h_s = √(h² + (a/2)²).

Wie berechnet man die Höhe einer Pyramide?

Aus dem Volumen: h = 3 × V ÷ G. Aus der Seitenhöhe: h = √(h_s² − (a/2)²). Aus der Seitenkante: h = √(s² − a²/2).

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche?

Erst G = g × h_g ÷ 2, dann V = G × h ÷ 3. Für g = 6 cm, h_g = 4 cm, h = 10 cm sind es 40 cm³.

Wie berechnet man das Volumen eines Pyramidenstumpfs?

V = h ÷ 3 × (G₁ + G₂ + √(G₁ × G₂)) mit der unteren Fläche G₁ und der oberen G₂.

Wie viele Ecken hat eine Pyramide?

Eine quadratische Pyramide hat 5 Ecken: 4 an der Grundfläche und die Spitze. Eine dreiseitige Pyramide hat 4 Ecken.

Wie viele Kanten hat eine Pyramide?

Eine quadratische Pyramide hat 8 Kanten, 5 Flächen und 5 Ecken; eine dreiseitige 6 Kanten, 4 Flächen und 4 Ecken.

Passende Rechner

• Volumen berechnenQuader, Würfel, Zylinder, Kugel und Kegel
• Volumen KugelKugel, Halbkugel, Kugelschale und Radius
• Volumen ZylinderZylinder, Rohr und Füllhöhe in Litern
• Dreieck berechnenFläche, Pythagoras und Winkel für Seitenhöhen
• Mathe für die SchuleAlle Rechner und Aufgaben für Klasse 5 bis 10
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Über diesen Pyramiden-Rechner

Die drei Rechner runden erst die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Masse gehen in mm, cm, dm oder m ein; das Volumen erscheint in der Einheit hoch drei und in Litern (unter einem Liter in ml), Flächen in der Einheit zum Quadrat. Das Dezimalkomma wird verstanden (230,33), ebenso der Punkt. Formeln und Beispiele zuletzt geprüft am 5. Oktober 2026. Ist dir ein Rechenfehler aufgefallen? Schreib uns. Bestätigte Fehler korrigieren wir zeitnah.