Dreieck mit den Seiten a = b = c = berechnen

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Dreieck berechnen: Fläche, Umfang, Winkel und fehlende Seiten

Ein Dreieck berechnen heisst: aus drei bekannten Werten alle anderen bestimmen. Die Fläche Dreieck ist A = Grundseite × Höhe ÷ 2; kennst du nur die drei Seiten, rechnest du die Dreieck Fläche ohne Höhe mit dem Satz des Heron. Der Dreieck-Rechner oben nimmt drei Seiten und gibt Fläche, Umfang, alle drei Winkel, die Höhen und die Dreiecksart aus. Weiter unten stehen drei weitere Rechner: Fläche aus Grundseite und Höhe, das rechtwinklige Dreieck mit dem Satz des Pythagoras (fehlende Seite, Hypotenuse berechnen) und das Dreieck berechnen mit Winkel aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen. Dazu gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, Höhe und Winkel berechnen, Beispiele aus dem Alltag und Aufgaben zum Üben.

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Seiten, Winkel und Höhe im Dreieck

Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c, den Winkeln α, β, γ und der Höhe h auf der Seite cABCcabhαβγ
Jede Seite liegt dem gleichnamigen Punkt gegenüber: a gegenüber A, b gegenüber B, c gegenüber C. Die Höhe h steht senkrecht auf ihrer Grundseite.

Ein Dreieck hat drei Seiten a, b, c, drei Winkel α, β, γ und zu jeder Seite eine Höhe. Die Beschriftung folgt einer festen Regel: Die Punkte heissen A, B, C gegen den Uhrzeigersinn, die Seite a liegt dem Punkt A gegenüber, der Winkel α sitzt im Punkt A. Um ein Dreieck vollständig zu berechnen, brauchst du drei Angaben, davon mindestens eine Seite: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und den Winkel dazwischen (SWS), eine Seite und zwei Winkel (WSW) oder im rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten. Drei Winkel allein reichen nicht, sie legen nur die Form fest, nicht die Grösse.

Fläche Dreieck berechnen: Grundseite mal Höhe

A = g × h ÷ 2

Das ist die Grundformel für die Fläche eines Dreiecks, und sie gilt für jedes Dreieck, nicht nur für rechtwinklige. Grundseite g mal zugehörige Höhe h ergibt ein Rechteck; das Dreieck ist genau die Hälfte davon. Wichtig ist nur, dass die Höhe senkrecht auf genau der Seite steht, die du als Grundseite nimmst. Ein Dreieck mit der Grundseite 8 cm und der Höhe 5 cm hat die Fläche 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm²; eine Giebelwand mit 12 m Breite und 7,5 m Höhe hat 45 m².

Grundseite g = Höhe h = — Fläche berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck ist es noch einfacher: Die beiden Seiten am rechten Winkel stehen schon senkrecht aufeinander, eine ist die Grundseite, die andere die Höhe. Die Fläche ist Kathete mal Kathete durch 2; das Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 hat 3 × 4 ÷ 2 = 6.

Dreieck Fläche berechnen mit 3 Seiten (ohne Höhe)

Oft kennt man keine Höhe, sondern nur die drei Seiten, etwa bei einem Grundstück, das man mit dem Massband abgeschritten hat, oder bei einem unregelmässigen Dreieck ohne rechten Winkel. Dann hilft der Satz des Heron. Zuerst berechnest du den halben Umfang s, dann setzt du ein:

s = (a + b + c) ÷ 2     A = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c))

Aufgabe
Dreieck mit a = 5, b = 6, c = 7. Wie gross ist die Fläche?
Halber Umfang
s = (5 + 6 + 7) ÷ 2 = 9
Einsetzen
A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216
Ergebnis
A = 14,70
Winkel dazu
α = 44,42°, β = 57,12°, γ = 78,46°: spitzwinklig

Das ist genau das Beispiel im Rechner ganz oben. Die Heron-Formel funktioniert für jedes Dreieck, auch für stumpfwinklige: Das Dreieck 4, 7, 9 hat s = 10 und A = √(10 × 6 × 3 × 1) = 13,42, mit einem Winkel von 106,60° gegenüber der längsten Seite. Eine Bedingung gibt es: Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste. Aus 2, 3 und 6 lässt sich kein Dreieck bauen, und der Rechner sagt das auch.

Rechtwinkliges Dreieck berechnen: Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck heissen die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten, die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel heisst Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras verbindet sie:

a² + b² = c²     c = √(a² + b²)     b = √(c² − a²)

Damit berechnest du die fehlende Seite, wenn zwei bekannt sind. Hypotenuse berechnen: Katheten 3 und 4 ergeben √(9 + 16) = √25 = 5. Kathete berechnen: Hypotenuse 13, eine Kathete 5, dann ist die andere √(169 − 25) = √144 = 12. Der Rechner hier nimmt beide Fälle; wähle aus, welche zwei Seiten du kennst.


erste Seite zweite Seite

Die Winkel im rechtwinkligen Dreieck folgen aus den Seitenverhältnissen, den Winkelfunktionen: sin α = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, cos α = Ankathete ÷ Hypotenuse, tan α = Gegenkathete ÷ Ankathete. Beim Dreieck 3, 4, 5 ist sin α = 3 ÷ 5 = 0,6, also α = 36,87°, und β = 90° − 36,87° = 53,13°. Wer eine Seitenlänge mit Winkel 90 Grad und einem weiteren Winkel sucht, stellt die passende Funktion um: Gegenkathete = Hypotenuse × sin α.

Dreieck berechnen mit Winkel

Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, kommen Kosinussatz und Sinussatz ins Spiel. Der häufigste Fall: zwei Seiten und der Winkel, den sie einschliessen (SWS). Die dritte Seite liefert der Kosinussatz, die Fläche eine Variante der Grundformel mit dem Sinus:

c² = a² + b² − 2ab × cos γ     A = ½ × a × b × sin γ

a = b = Winkel γ dazwischen = °

Mit a = 7, b = 9 und γ = 60° ergibt sich c = √(49 + 81 − 63) = √67 = 8,19 und A = 0,5 × 7 × 9 × 0,866 = 27,28. Sind stattdessen eine Seite und zwei Winkel bekannt (WSW), ergibt sich der dritte Winkel aus der Winkelsumme, die übrigen Seiten aus dem Sinussatz a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ. Beispiel: c = 10, α = 40°, β = 60°, also γ = 80°, a = 10 × sin 40° ÷ sin 80° = 6,53 und b = 8,79.

Winkel berechnen im Dreieck

Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben immer zusammen 180°. Kennst du zwei, ist der dritte eine Subtraktion: 50° und 60° lassen 70° übrig. Sind nur die drei Seiten bekannt, rechnet man jeden Winkel mit dem umgestellten Kosinussatz aus, cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc); das macht der Rechner ganz oben automatisch. Nach dem grössten Winkel heisst das Dreieck spitzwinklig (alle unter 90°), rechtwinklig (genau 90°) oder stumpfwinklig (einer über 90°). Eine schnelle Probe ohne Winkel: Ist das Quadrat der längsten Seite grösser als die Summe der anderen beiden Quadrate, ist das Dreieck stumpfwinklig; bei 4, 7, 9 ist 81 grösser als 16 + 49 = 65.

Höhe Dreieck berechnen

Jede Seite hat ihre eigene Höhe, und alle drei ergeben mit ihrer Seite dieselbe Fläche. Deshalb lässt sich die Höhe aus der Fläche zurückrechnen: h = 2 × A ÷ Grundseite. Im Dreieck 5, 6, 7 mit A = 14,70 ist die Höhe auf der Seite 7 gleich 2 × 14,70 ÷ 7 = 4,20, auf der Seite 5 dagegen 5,88. Im gleichschenkligen Dreieck steht die Höhe auf der Basis genau in der Mitte, dort hilft Pythagoras direkt: Schenkel 5, Basis 6, halbe Basis 3, Höhe √(25 − 9) = 4. Im gleichseitigen Dreieck mit der Seite a gilt h = a × √3 ÷ 2; bei a = 6 sind das 5,20.

Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck

  • Gleichschenkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten (die Schenkel), die dritte heisst Basis. Die beiden Winkel an der Basis sind gleich gross. Fläche Dreieck gleichschenklig: halbe Basis mal Höhe, die Höhe über Pythagoras aus Schenkel und halber Basis. Schenkel 5, Basis 6: h = 4, A = 12, Basiswinkel je 53,13°.
  • Gleichseitiges Dreieck: alle drei Seiten gleich, alle Winkel 60°. Fläche A = a² × √3 ÷ 4, Höhe h = a × √3 ÷ 2. Bei a = 6: A = 15,59, h = 5,20, Umfang 18.
  • Rechtwinklig-gleichschenklig: das halbe Quadrat, Winkel 45°, 45°, 90°. Hypotenuse = Kathete × √2.

Umfang Dreieck

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der drei Seiten, U = a + b + c. Das Dreieck 5, 6, 7 hat U = 18, das gleichseitige mit a = 6 ebenfalls 18, aber eine grössere Fläche (15,59 statt 14,70): Bei gleichem Umfang umschliesst das gleichseitige Dreieck die meiste Fläche. Fehlt eine Seite, rechnet man sie erst mit Pythagoras oder dem Kosinussatz aus und addiert dann.

Formeln für Dreiecke im Überblick

GegebenGesuchtFormel
Grundseite g, Höhe hFlächeA = g × h ÷ 2
drei SeitenFlächeA = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) ÷ 2
zwei Seiten, Winkel dazwischenFlächeA = ½ × a × b × sin γ
zwei KathetenHypotenusec = √(a² + b²)
Hypotenuse, Katheteandere Katheteb = √(c² − a²)
zwei Seiten, Winkel dazwischendritte Seitec² = a² + b² − 2ab × cos γ
drei SeitenWinkelcos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)
zwei Winkeldritter Winkelγ = 180° − α − β
Fläche, GrundseiteHöheh = 2A ÷ g
gleichseitig, Seite aFläche, HöheA = a²√3 ÷ 4, h = a√3 ÷ 2

Dreiecke im Alltag

  • Leiter an der Wand: Eine 5 m lange Leiter steht 1,40 m von der Wand entfernt. Sie reicht √(25 − 1,96) = 4,80 m hoch.
  • Dachneigung: Ein Satteldach mit 8 m Hausbreite und 3 m Firsthöhe hat je Seite 4 m waagerecht und 3 m senkrecht: Sparrenlänge 5 m, Neigung tan⁻¹(3 ÷ 4) = 36,87°. Wie man Steigungen in Prozent angibt, steht unter Prozent in Grad umrechnen.
  • Bildschirmgrösse: Die Zoll-Angabe ist die Diagonale, die Hypotenuse. Ein 55-Zoll-Fernseher im Format 16:9 (139,7 cm Diagonale) ist 121,76 cm breit und 68,49 cm hoch.
  • Grundstück: Ein dreieckiges Beet mit den Seiten 7, 8 und 12 m hat nach Heron 26,91 m², ganz ohne Höhe zu messen.
  • Rechter Winkel ohne Winkelmesser: Maurer spannen eine Schnur im Verhältnis 3 : 4 : 5; weil 3² + 4² = 5² ist, entsteht garantiert ein rechter Winkel.

Typische Fehler

  • Die Hälfte vergessen. g × h ist ein Rechteck; das Dreieck ist nur die Hälfte.
  • Eine schräge Seite als Höhe nehmen. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite. Nur im rechtwinkligen Dreieck ist eine Seite zugleich Höhe.
  • Pythagoras im nicht rechtwinkligen Dreieck. a² + b² = c² gilt nur mit rechtem Winkel. Sonst Kosinussatz.
  • Hypotenuse falsch zuordnen. c ist immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel. Wer beim Kathete-Berechnen addiert statt subtrahiert, bekommt eine Kathete, die länger als die Hypotenuse ist.
  • Taschenrechner im Bogenmass. Für sin, cos und tan in Grad muss der Rechner auf DEG stehen, nicht auf RAD.
  • Unmögliche Seiten. Wenn zwei Seiten zusammen nicht länger sind als die dritte, gibt es kein Dreieck.

Aufgaben zum Üben

Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung auf. Alle Aufgaben lassen sich mit den Rechnern auf dieser Seite kontrollieren.

Aufgabe 1: Grundseite 12 cm, Höhe 7,5 cm. Fläche?

A = 12 × 7,5 ÷ 2 = 45 cm².

Aufgabe 2: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 und 8. Wie lang ist die Hypotenuse?

c = √(36 + 64) = √100 = 10. Fläche 6 × 8 ÷ 2 = 24.

Aufgabe 3: Hypotenuse 13, eine Kathete 5. Wie lang ist die fehlende Seite?

b = √(169 − 25) = √144 = 12.

Aufgabe 4: Berechne die Fläche des Dreiecks mit den Seiten 7, 8 und 12.

s = 13,5; A = √(13,5 × 6,5 × 5,5 × 1,5) = 26,91. Es ist stumpfwinklig (γ = 106,07°).

Aufgabe 5: Zwei Winkel eines Dreiecks sind 50° und 60°. Wie gross ist der dritte?

180° − 50° − 60° = 70°.

Aufgabe 6: Gleichseitiges Dreieck mit der Seite 6 cm. Höhe und Fläche?

h = 6 × √3 ÷ 2 = 5,20 cm, A = 36 × √3 ÷ 4 = 15,59 cm².

Häufige Fragen

Wie rechne ich ein Dreieck aus?

Mit drei Angaben, davon mindestens einer Seite. Für die Fläche reicht Grundseite mal Höhe durch 2. Sind drei Seiten bekannt, liefert der Satz des Heron die Fläche und der Kosinussatz die Winkel; im rechtwinkligen Dreieck hilft der Satz des Pythagoras. Die Rechner auf dieser Seite decken alle vier Fälle ab.

Wie berechne ich die Fläche von einem Dreieck?

A = Grundseite × Höhe ÷ 2. Grundseite 8 cm und Höhe 5 cm ergeben 20 cm². Ohne Höhe, nur mit den drei Seiten, rechnest du mit dem Satz des Heron: A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) mit s als halbem Umfang.

Wie berechnet man die fehlende Seite eines Dreiecks?

Im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras: Hypotenuse c = √(a² + b²), Kathete b = √(c² − a²). In jedem anderen Dreieck mit dem Kosinussatz, wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind: c² = a² + b² − 2ab × cos γ.

Wie berechnet man die Fläche eines unregelmässigen Dreiecks?

Mit den drei Seitenlängen und dem Satz des Heron, ganz ohne Höhe und ohne rechten Winkel. Seiten 5, 6 und 7: halber Umfang 9, Fläche √(9 × 4 × 3 × 2) = 14,70.

Welche Formeln gibt es für Dreiecke?

Fläche A = g × h ÷ 2, Umfang U = a + b + c, Winkelsumme 180°, Satz des Pythagoras a² + b² = c² für rechtwinklige Dreiecke, Satz des Heron für die Fläche aus drei Seiten, Kosinussatz und Sinussatz für beliebige Dreiecke. Die Tabelle „Formeln für Dreiecke im Überblick“ oben ordnet sie nach dem, was gegeben ist.

Wie berechnet man die Seitenlängen eines Dreiecks mit 3 Seiten?

Wenn alle drei Seiten gegeben sind, gibt es keine Seite mehr zu berechnen, wohl aber Fläche, Winkel und Höhen. Der Rechner oben nimmt die drei Seiten und liefert alles andere. Wichtig: Die zwei kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste, sonst existiert das Dreieck nicht.

Wie berechnet man die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks?

Höhe über Pythagoras aus Schenkel und halber Basis, dann Basis × Höhe ÷ 2. Schenkel 5 und Basis 6: Höhe √(25 − 9) = 4, Fläche 6 × 4 ÷ 2 = 12.

Kann man ein Dreieck nur mit Winkeln berechnen?

Nein. Drei Winkel legen nur die Form fest; es gibt unendlich viele verschieden grosse Dreiecke mit 50°, 60° und 70°. Für Fläche und Seiten braucht es mindestens eine Seitenlänge.

Passende Rechner

Über diesen Dreieck-Rechner

Die vier Rechner arbeiten mit voller Genauigkeit und runden erst die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen; Winkel werden in Grad ein- und ausgegeben. Die Einheit ist frei: Seiten in cm ergeben die Fläche in cm². Das Dezimalkomma wird verstanden (7,5), ebenso der Punkt. Unmögliche Eingaben, etwa eine Hypotenuse, die kürzer ist als die Kathete, meldet der Rechner mit einem Hinweis statt einem falschen Ergebnis. Formeln und Beispiele zuletzt geprüft am 30. September 2026. Ist dir ein Rechenfehler aufgefallen? Schreib uns. Bestätigte Fehler korrigieren wir zeitnah.