Volumen Kugel berechnen: Kugel Volumen, Oberfläche und Radius

Das Volumen einer Kugel berechnest du mit V = 4/3 × π × r³: Radius hoch drei, mal π, mal vier Drittel. Eine Kugel mit 10 cm Durchmesser hat 523,6 cm³, also gut ein halber Liter. Der Kugel-Rechner oben nimmt wahlweise Durchmesser, Radius oder Umfang und gibt das Kugel Volumen in cm³, Liter und ml aus, dazu die Oberfläche und die Werte der Halbkugel. Weiter unten kannst du den Radius aus dem Volumen zurückrechnen und Kugelschale und Kugelabschnitt berechnen. Dazu die Volumen Kugel Formel mit Herleitung, eine Tabelle mit Bällen von Tischtennis bis Gymnastikball und Aufgaben zum Üben: alles, was man zum Volumen Kugel berechnen und zur Kugel berechnen in der Schule braucht.

Auf dieser Seite

• Volumen Kugel Formel
• Kugel Volumen berechnen: Beispiel Schritt für Schritt
• Volumen Kugel mit Durchmesser berechnen
• Tabelle: Kugel Volumen in Liter
• Oberfläche Kugel berechnen: Kugel Oberfläche Formel
• Kugel Radius berechnen
• Halbkugel Volumen
• Volumen Kugelschale und Hohlkugel
• Volumen Kugelabschnitt
• Herleitung: Warum 4/3?
• Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat eine Kugel?
• Typische Fehler
• Aufgaben zum Üben
• Häufige Fragen

Volumen Kugel Formel

V = 4/3 × π × r³    oder    V = π × d³ ÷ 6

Die Volumen Kugel Formel hängt nur an einer einzigen Grösse, dem Radius r. Das macht die Kugel einfacher als jeden anderen Körper: Kein Kantenmass, keine Höhe, nur der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. Die zweite Form mit dem Durchmesser d ist dieselbe Rechnung, weil r³ = d³ ÷ 8 ist und 4/3 ÷ 8 = 1/6. Die Kugel Volumen Formel und alle anderen Kugel Formeln auf einen Blick:

Grösse	Kugel Formel	Einheit
Volumen V	4/3 × π × r³ = π × d³ ÷ 6	cm³
Oberfläche O	4 × π × r² = π × d²	cm²
Durchmesser d	2 × r	cm
Umfang U (Grosskreis)	2 × π × r	cm
Radius aus Volumen	∛(3 × V ÷ (4 × π))	cm
Radius aus Oberfläche	√(O ÷ (4 × π))	cm

Kugel Volumen berechnen: Beispiel Schritt für Schritt

Aufgabe: Ein Basketball hat 24 cm Durchmesser. Wie viel Luft ist darin?

Radius

r = d ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 cm

Hoch drei

12³ = 12 × 12 × 12 = 1.728 cm³

Mal 4/3 × π

V = 4/3 × π × 1.728 = 7.238,23 cm³

In Liter

7.238,23 ÷ 1.000 = 7,24 Liter

Das ist die Volumenberechnung bei der Kugel in vier Zeilen, und genau diese Zeilen zeigt auch der Rechner oben im Rechenweg. Der häufigste Stolperstein ist die dritte Potenz: 12³ ist 1.728, nicht 36. Wer beim Volumen Kugel berechnen den Taschenrechner benutzt, tippt am sichersten 12^3 statt dreimal zu multiplizieren.

Volumen Kugel mit Durchmesser berechnen

Gemessen wird bei Bällen, Kugellagern oder Lampenschirmen fast immer der Durchmesser. Du kannst ihn halbieren und die Grundformel nehmen oder direkt V = π × d³ ÷ 6 rechnen. Das Volumen einer Kugel mit 10 cm Durchmesser ist π × 1.000 ÷ 6 = 523,6 cm³ = 523,6 ml. Wichtig ist die dritte Potenz: Doppelter Durchmesser heisst achtfaches Volumen. Eine Kugel mit 20 cm Durchmesser fasst schon 4.188,79 cm³, also 4,19 Liter. Kennst du statt des Durchmessers nur den Umfang, etwa weil du mit dem Massband um einen Ball gemessen hast, stell im Rechner „Umfang“ ein: Aus 40 cm Umfang werden r = 6,37 cm und 1.080,76 cm³.

Tabelle: Kugel Volumen in Liter

Kugel	Durchmesser	Volumen	In Liter	Oberfläche
Tischtennisball	4 cm	33,51 cm³	33,51 ml	50,27 cm²
Tennisball	6,7 cm	157,48 cm³	157,48 ml	141,03 cm²
Handball (Grösse 3)	18,8 cm	3.479,14 cm³	3,48 Liter	1.110,36 cm²
Fussball	22 cm	5.575,28 cm³	5,58 Liter	1.520,53 cm²
Basketball	24 cm	7.238,23 cm³	7,24 Liter	1.809,56 cm²
Gymnastikball	65 cm	143.793,31 cm³	143,79 Liter	13.273,23 cm²
Kugel mit 1 m Durchmesser	100 cm	523.598,78 cm³	523,6 Liter	31.415,93 cm²

Die Durchmesser sind Richtwerte nach den üblichen Ballgrössen. Die Umrechnung: 1.000 cm³ sind 1 Liter, 1.000 Liter sind 1 m³. Am schnellsten geht es, wenn du den Durchmesser gleich in Dezimetern eingibst, dann steht das Ergebnis direkt in Litern da. Gerechnet ist jeweils das Aussenvolumen; beim Ball ist die Hülle mitgezählt.

Oberfläche Kugel berechnen: Kugel Oberfläche Formel

O = 4 × π × r²    = π × d²

Die Kugel Oberfläche ist genau viermal so gross wie ein Kreis mit demselben Radius. Für r = 5 cm ist der Kreis 78,54 cm², die Oberfläche der Kugel 314,16 cm². Die Kugel Oberfläche Formel mit dem Durchmesser ist noch kürzer: O = π × d². Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist das, was man bei einem Ball mit Leder bezieht oder bei einer Christbaumkugel mit Farbe überzieht. Ein Fussball mit 22 cm Durchmesser hat 1.520,53 cm² Oberfläche, also rund 0,15 m². Die Erde mit 6.371 km mittlerem Radius kommt auf 510,06 Millionen km². Die Kreisfläche selbst rechnet der Kreisrechner.

Kugel Radius berechnen

Oft ist es umgekehrt: Das Volumen oder die Oberfläche ist bekannt, gesucht ist der Radius. Dafür stellt man die Formel um. Beim Volumen muss man dann die dritte Wurzel ziehen, bei der Oberfläche die Quadratwurzel:

r = ∛(3 × V ÷ (4 × π))    r = √(O ÷ (4 × π))

Eine Kugel, die genau 1 Liter fasst, hat 6,2 cm Radius, also 12,41 cm Durchmesser. Eine Kugel mit 314,16 cm² Oberfläche hat 5 cm Radius. Damit lässt sich auch der Radius einer Kugel berechnen, wenn das Volumen gegeben ist, etwa bei einem kugelförmigen Tank mit bekanntem Fassungsvermögen.

Halbkugel Volumen

V = 2/3 × π × r³    O = 3 × π × r²

Die Halbkugel ist genau die Hälfte der Kugel, das Halbkugel Volumen also V = 2/3 × π × r³. Eine halbkugelförmige Schüssel mit 20 cm Durchmesser fasst 2.094,4 cm³ = 2,09 Liter. Bei der Oberfläche muss man aufpassen: Die gewölbte Fläche ist die Hälfte der Kugeloberfläche, 2 × π × r², dazu kommt die flache Schnittfläche, ein Kreis mit π × r². Zusammen sind das 3 × π × r², für r = 10 cm also 942,48 cm². Der Rechner oben zeigt das Volumen der Halbkugel und beide Flächen in der letzten Zeile des Rechenwegs.

Volumen Kugelschale und Hohlkugel

Eine Hohlkugel oder Kugelschale ist eine Kugel, aus der eine kleinere, gleich zentrierte Kugel herausgenommen wurde. Das Material ist die Differenz der beiden Volumen:

V_Schale = 4/3 × π × (R³ − r³)

Eine Hohlkugel mit 22 cm Aussen- und 20 cm Innendurchmesser, also 1 cm Wandstärke, hat 1.386,49 cm³ Material und fasst innen 4,19 Liter. Wie beim Rohr gilt: erst hoch drei, dann abziehen. Die Wandstärke hoch drei zu nehmen ergibt einen viel zu kleinen Wert.

Volumen Kugelabschnitt

V = π × h² × (3r − h) ÷ 3

Ein Kugelabschnitt (auch Kugelsegment oder Kugelkappe) entsteht, wenn eine Ebene eine Kugel durchschneidet. Gegeben sind der Radius r der ganzen Kugel und die Höhe h des abgeschnittenen Stücks. Für h = r ist der Abschnitt genau eine Halbkugel.

Aus einer Kugel mit 10 cm Radius schneidet eine Ebene eine 4 cm hohe Kappe ab: Sie hat 435,63 cm³ Volumen, eine gewölbte Fläche von 251,33 cm² und als Grundkreis einen Kreis mit 8 cm Radius. So rechnet man etwa die Füllmenge einer flachen Schale oder einer Kuppel.

Herleitung: Warum 4/3?

Die Volumen Kugel Herleitung geht auf Archimedes zurück. Er verglich die Kugel mit dem Zylinder, der sie genau umschliesst: gleicher Radius, Höhe 2r. Dieser Zylinder hat das Volumen π × r² × 2r = 2 × π × r³. Archimedes zeigte, dass die Kugel genau zwei Drittel davon ausfüllt: 2/3 × 2 × π × r³ = 4/3 × π × r³. Für r = 5 cm: Zylinder 785,4 cm³, Kugel 523,6 cm³, das Verhältnis ist exakt 2 : 3. Heute zeigt man die Formel in der Schule mit dem Prinzip von Cavalieri: Eine Halbkugel hat in jeder Höhe dieselbe Schnittfläche wie ein Zylinder, aus dem ein Kegel herausgebohrt ist, und deshalb dasselbe Volumen, π × r³ − 1/3 × π × r³ = 2/3 × π × r³. Verdoppelt ergibt das die ganze Kugel. Ein Zylinder mit r = 5 cm und 10 cm Höhe zum Vergleich: 785,4 cm³, siehe Zylinder-Rechner.

Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat eine Kugel?

Eine Kugel hat 1 Fläche, die gekrümmte Oberfläche, 0 Kanten und 0 Ecken. Sie ist der einzige Körper, bei dem jeder Punkt der Oberfläche gleich weit vom Mittelpunkt entfernt ist. Deshalb hat sie bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller Körper, und genau darum sind Seifenblasen und Wassertropfen rund.

Typische Fehler

• Durchmesser statt Radius einsetzen. 4/3 × π × 10³ statt 4/3 × π × 5³ ergibt das Achtfache.
• r² statt r³ beim Volumen. Das Volumen hat drei Dimensionen, also hoch drei. Hoch zwei gehört zur Oberfläche.
• 4/3 falsch eintippen. 4 ÷ 3 × π × r³ ist richtig; 4 ÷ (3 × π × r³) nicht.
• Mit 100 statt 1.000 umrechnen. 1 Liter sind 1.000 cm³, 1 m³ sind 1.000 Liter.
• Halbkugel-Oberfläche ohne Schnittkreis. Eine geschlossene Halbkugel hat 3 × π × r², nicht 2 × π × r².
• Bei der Kugelschale die Wandstärke hoch drei. Richtig ist 4/3 × π × (R³ − r³).

Aufgaben zum Üben

Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung auf. Alle Aufgaben lassen sich mit den Rechnern auf dieser Seite kontrollieren.

Aufgabe 1: Eine Kugel hat den Radius 3 cm. Wie gross ist ihr Volumen?

V = 4/3 × π × 27 = 113,1 cm³.

Aufgabe 2: Wie viel Liter fasst eine Kugel mit 30 cm Durchmesser?

In dm: r = 1,5; 4/3 × π × 3,375 = 14,14 Liter.

Aufgabe 3: Wie gross ist die Oberfläche einer Kugel mit 8 cm Durchmesser?

O = π × 8² = 201,06 cm².

Aufgabe 4: Eine Kugel hat 1.000 cm³ Volumen. Welchen Radius hat sie?

r = ∛(3 × 1.000 ÷ (4 × π)) = 6,2 cm.

Aufgabe 5: Volumen einer Halbkugel mit 6 cm Radius?

V = 2/3 × π × 216 = 452,39 cm³.

Aufgabe 6: Wie ändert sich das Volumen, wenn der Radius verdreifacht wird?

Es wird 3³ = 27-mal so gross, die Oberfläche 3² = 9-mal.

Häufige Fragen

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

V = 4/3 × π × r³: Radius hoch drei, mal π, mal 4/3. Mit dem Durchmesser: V = π × d³ ÷ 6. Eine Kugel mit 10 cm Durchmesser hat 523,6 cm³.

Wie lautet die Formel für das Volumen einer Kugel?

V = 4/3 × π × r³. Die Oberfläche ist O = 4 × π × r².

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel mit dem Durchmesser?

V = π × d³ ÷ 6, oder erst r = d ÷ 2 und dann die Grundformel. Für d = 24 cm sind es 7.238,23 cm³.

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

O = 4 × π × r² oder π × d². Für r = 5 cm sind es 314,16 cm².

Wie berechnet man den Radius einer Kugel aus dem Volumen?

r = ∛(3 × V ÷ (4 × π)). Die dritte Wurzel zieht man auf dem Taschenrechner mit x^(1/3).

Wie viel Liter hat eine Kugel?

Volumen in cm³ ausrechnen und durch 1.000 teilen. Eine Kugel mit 20 cm Durchmesser hat 4,19 Liter.

Wie berechnet man das Volumen einer Halbkugel?

V = 2/3 × π × r³, die Hälfte der Kugel. Die Oberfläche der geschlossenen Halbkugel ist 3 × π × r².

Warum steht in der Kugelformel 4/3?

Weil die Kugel genau zwei Drittel des Zylinders ausfüllt, der sie umschliesst (Höhe 2r): 2/3 × 2πr³ = 4/3 × πr³. Das hat Archimedes gezeigt.

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Über diesen Kugel-Rechner

Die vier Rechner arbeiten mit dem vollen Wert von π und runden erst die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Masse gehen in mm, cm, dm oder m ein; das Volumen erscheint in der Einheit hoch drei und in Litern (unter einem Liter in ml), Flächen in der Einheit zum Quadrat. Das Dezimalkomma wird verstanden (6,7), ebenso der Punkt. Formeln und Beispiele zuletzt geprüft am 5. Oktober 2026. Ist dir ein Rechenfehler aufgefallen? Schreib uns. Bestätigte Fehler korrigieren wir zeitnah.